| a(0,0) * x(0) + a(0,1) * x(1) + a(0,2) * x(2) + ,,, a(0,n-1) * x(n-1) + a(0,n) = 0 |
| a(1,0) * x(0) + a(1,1) * x(1) + a(1,2) * x(2) + ,,, a(1,n-1) * x(n-1) + a(1,n) = 0 |
| a(2,0) * x(0) + a(2,1) * x(1) + a(2,2) * x(2) + ,,, a(2,n-1) * x(n-1) + a(2,n) = 0 |
| ,,, |
| a(n-1,0)*x(0) + a(n-1,1)*x(1) + a(n-1,2)*x(2) + ,,, a(n-1,n-1)*x(n-1) + a(n-1,n) = 0 |
| 未知数の個数はｎ個。 |
| a(i,j)が係数、x(i)が解(i=0～n-1, j=0～n) |
| (1)ＣＳＶ形式のｎ元連立一次方程式の係数項目ファイルを読み込んで多倍長演算で解を求めます。 |
| (2)計算精度は京＾-ｍで(ｍ=1～1024)の範囲で指定できます。(京＝10000000000000000＝10^16) |
| 凡例)ｍ=2の時は0.00000000000000000000000000000001(小数点以下32桁)の精度で演算します。 |
| (3)１計算項目当たりの項目サイズは６クワード以上。(１クワード＝8バイト) |
| 計算精度に比例して１計算項目当たりの項目サイズは大きくなる。 |
| 補足)項目サイズ設定値の目安はｍ＜６未満のときは８、ｍ≧６のときはｍ＋２ |
| (4)計算可能な未知数の個数は、項目サイズ＝8、計算精度＝4の条件では |
| 計算項目の確保サイズ(65536*4095)/項目サイズ(8)→確保できる項目数(33546240) |
| ｎ ＊ （ｎ＋１） ＜ 33546240 を満たす最大のｎ → 5791 |
| 計算時間の制限がなければ最大５７９１元連立一次方程式の解を求めることができます。 |
| 補足)５７９１元の場合の所要時間は３５時間程度と予想されます |
| (5)解の算出～検算の所要時間(項目サイズ＝8、計算精度＝4 Intel(R) Core(TM) i5-8500での実測値) |
| ｎ 所要時間 |
| 100 1秒360 |
| 200 10秒102 |
| 300 37秒232 |
| 400 1分21秒882 |
| 500 2分40秒094 |
| 600 4分42秒411 |
| 1000 21分54秒038 |
| 2000 171分20秒511 |
| 2000超 未実施 |
| 補足)所要時間はｎが２倍になると２＾３倍、計算精度を２倍にすると２倍になります。 |
| 係数項目a(i,j)をＣＳＶ形式で作成したテキストファイルを読み込んでガウスの消去法で解きます |
| |
| step1.係数ファイルを 配列a(0～n-1 ,0～n)へ読込 |
| a(0,0) a(0,1) a(0,2) ,,, a(0,n-1) a(0,n) |
| a(1,0) a(1,1) a(1,2) ,,, a(1,n-1) a(1,n) |
| a(2,0) a(2,1) a(2,2) ,,, a(2,n-1) a(2,n) |
| ,,, |
| a(n-1,0) a(n-1,1) a(n-1,2) ,,, a(n-1,n-1) a(n-1,n) |
| |
| step2.前進消去(部分ピボット選択を採用します) |
| (1) (2) を i = 0,1,,,n-2 の順に実行 |
| (1)ピボット選択 |
| a(i,i)～a(n-1,i)から絶対値が最大となるa(x,i)を求める |
| a(x,i)=0の時は一意解がない→処理終了 |
| x≠i の時はi行とx行を総入替する |
| (2)a(i,i)の行下部の削除および列右側の係数再計算 |
| ①～③をj = i+1,i+2,,,n-1の順に実行 |
| ①α←a(j,i) |
| ②a(j,i)←0 |
| ③列右側の係数再計算(y = i+1,i+2,,,n の順に実行) |
| a(j,y) ← a(j,y) - (α * a(i,y)) / a(i,i) |
| |
| step3.後退代入 |
| (1) (2) を i = n-1,n-2,,,0 の順に実行 |
| (1) a(i,n) に a(i,j) * x(j) を加える[ただし、j=n-1,n-2,,,i+1] |
| (2) x(i) ← -1 * a(i,n) / a(i,i) |
| (3) 解(x(i))をＣＳＶ形式でファイル出力 |
| |
| step4.検算 |
| (1) 係数項目の再読み込み |
| (2) 解を代入して式の計算(i=0,1,,,n-1の順に実行) |
| a(i,0) * x(0) + a(i,1) * x(1) + a(i,2) * x(2) + ,,, a(i,n-1) * x(n-1) + a(i,n) |